Mathématiques et Algorithmes de Science Spatiale
Les équations et algorithmes qui propulsent l'exploration spatiale
Équations Fondamentales des Fusées
Équation de Tsiolkovsky
L'équation fondamentale de propulsion des fusées qui relie le delta-v à la vitesse d'éjection et au rapport de masse :
Δv = ve · ln(m0/m1)
Où :
- Δv = changement de vitesse
- ve = vitesse d'éjection effective
- m0 = masse totale initiale (avec propergol)
- m1 = masse totale finale (sans propergol)
Équation de Poussée
La force produite par un moteur de fusée :
F = ṁ · ve + (pe - p0) · Ae
Où :
- F = force de poussée
- ṁ = débit massique de propergol
- ve = vitesse d'éjection
- pe = pression à la sortie
- p0 = pression ambiante
- Ae = surface de sortie de la tuyère
Implémentation en Code
# Simulation de trajectoire de fusée utilisant la méthode Runge-Kutta
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
def equation_fusee(t, y, m_dot, v_e, g):
# y[0] = altitude, y[1] = vitesse
m = m_0 - m_dot * t # Masse actuelle
if m <= m_1: # Plus de carburant
poussee = 0
else:
poussee = m_dot * v_e
dvdt = (poussee / m) - g
return [y[1], dvdt]
# Paramètres de simulation
m_0 = 1000 # Masse initiale (kg)
m_1 = 300 # Masse à vide (kg)
m_dot = 10 # Débit massique (kg/s)
v_e = 2500 # Vitesse d'éjection (m/s)
g = 9.81 # Gravité (m/s²)
# Résolution de l'équation différentielle
solution = solve_ivp(equation_fusee, [0, 120], [0, 0],
args=(m_dot, v_e, g), dense_output=True)
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
def equation_fusee(t, y, m_dot, v_e, g):
# y[0] = altitude, y[1] = vitesse
m = m_0 - m_dot * t # Masse actuelle
if m <= m_1: # Plus de carburant
poussee = 0
else:
poussee = m_dot * v_e
dvdt = (poussee / m) - g
return [y[1], dvdt]
# Paramètres de simulation
m_0 = 1000 # Masse initiale (kg)
m_1 = 300 # Masse à vide (kg)
m_dot = 10 # Débit massique (kg/s)
v_e = 2500 # Vitesse d'éjection (m/s)
g = 9.81 # Gravité (m/s²)
# Résolution de l'équation différentielle
solution = solve_ivp(equation_fusee, [0, 120], [0, 0],
args=(m_dot, v_e, g), dense_output=True)
Concepts Informatiques Clés
Intégration Numérique
Utilisée pour résoudre les équations différentielles du mouvement quand les solutions analytiques sont impossibles. Méthodes courantes : Runge-Kutta et intégration de Verlet.
Simulation Physique 3D
Dynamique des corps rigides avec 6 degrés de liberté (position et orientation dans l'espace 3D) plus les forces aérodynamiques.
Mécanique Orbitale
Implémentation des lois de Kepler et approximation par coniques pour les trajectoires interplanétaires.
Applications Réelles
- Systèmes de Guidage : Contrôleurs PID pour le contrôle d'attitude
- Optimisation de Trajectoire : Trouver les chemins les plus économes en carburant
- Analyse Structurelle : Méthodes des éléments finis pour les tests de résistance
- Dynamique des Fluides : Simulation de combustion dans les moteurs de fusée