Mathématiques et Algorithmes de Science Spatiale

Les équations et algorithmes qui propulsent l'exploration spatiale

Équations Fondamentales des Fusées

Équation de Tsiolkovsky

L'équation fondamentale de propulsion des fusées qui relie le delta-v à la vitesse d'éjection et au rapport de masse :

Δv = ve · ln(m0/m1)

Où :

  • Δv = changement de vitesse
  • ve = vitesse d'éjection effective
  • m0 = masse totale initiale (avec propergol)
  • m1 = masse totale finale (sans propergol)

Équation de Poussée

La force produite par un moteur de fusée :

F = ṁ · ve + (pe - p0) · Ae

Où :

  • F = force de poussée
  • ṁ = débit massique de propergol
  • ve = vitesse d'éjection
  • pe = pression à la sortie
  • p0 = pression ambiante
  • Ae = surface de sortie de la tuyère

Implémentation en Code

# Simulation de trajectoire de fusée utilisant la méthode Runge-Kutta
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def equation_fusee(t, y, m_dot, v_e, g):
    # y[0] = altitude, y[1] = vitesse
    m = m_0 - m_dot * t # Masse actuelle
    if m <= m_1: # Plus de carburant
        poussee = 0
    else:
        poussee = m_dot * v_e
    dvdt = (poussee / m) - g
    return [y[1], dvdt]

# Paramètres de simulation
m_0 = 1000 # Masse initiale (kg)
m_1 = 300 # Masse à vide (kg)
m_dot = 10 # Débit massique (kg/s)
v_e = 2500 # Vitesse d'éjection (m/s)
g = 9.81 # Gravité (m/s²)

# Résolution de l'équation différentielle
solution = solve_ivp(equation_fusee, [0, 120], [0, 0],
    args=(m_dot, v_e, g), dense_output=True)

Concepts Informatiques Clés

Intégration Numérique

Utilisée pour résoudre les équations différentielles du mouvement quand les solutions analytiques sont impossibles. Méthodes courantes : Runge-Kutta et intégration de Verlet.

Simulation Physique 3D

Dynamique des corps rigides avec 6 degrés de liberté (position et orientation dans l'espace 3D) plus les forces aérodynamiques.

Mécanique Orbitale

Implémentation des lois de Kepler et approximation par coniques pour les trajectoires interplanétaires.

Applications Réelles